Question

14．若實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的投影為M，點N（3，3），則線段MN長度的取值范圍為[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質得到2b=a+c，整理后與直線方程ax+by+c=0比較發(fā)現(xiàn)，直線ax+by+c=0恒過Q（1，-2），再由點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，得到PM與QM垂直，利用圓周角定理得到M在以PQ為直徑的圓上，由P和Q的坐標，利用中點坐標公式求出圓心A的坐標，利用兩點間的距離公式求出此圓的半徑r，線段MN長度的最值即為M與圓心A的距離與半徑的和與差，求出即可．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒過Q（1，-2），
又點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ為直徑的圓上，
∴此圓的圓心A坐標為（$\frac{1-1}{2}$，$\frac{-2+0}{2}$），即A（0，-1），半徑r=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（1+1）^{2}+（{-2）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又N（3，3），
∴|AN|=5，
則|MN|_max=5+$\sqrt{2}$，最小值為5-$\sqrt{2}$，所以線段MN的范圍為：[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．
故答案為：[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

點評 此題考查了等差數(shù)列的性質，恒過定點的直線方程，圓周角定理，線段中點坐標公式，以及兩點間的距離公式，利用等差數(shù)列的性質得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本題的突破點．