Question

19．已知函數(shù) f （x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^{-x}}-1，x＜0\\ 2\sqrt{x}，x≥0\end{array}\right.$，若函數(shù) g （x）=f （x）-x-b 有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （1，2]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x+b的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，從而作圖求解即可．

解答 解：若函數(shù) g （x）=f （x）-x-b 有三個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）和h（x）=x+b有3個(gè)交點(diǎn)，
畫出函數(shù)f（x）和h（x）的圖象，如圖所示：
，
x＞0時(shí)，當(dāng)h（x）=x+b和f（x）=2$\sqrt{x}$相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），
則f′（x₀）=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}$=1，解得：x₀=1，故y₀=2，即A（1，2），
故此時(shí)，h（x）=x+1，直線和f（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，
0＜b＜1時(shí)滿足題意，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的作法及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用等，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．