Question

1．如圖，已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)F（1，0）且與y軸相切，點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱點(diǎn)為F′，點(diǎn)F′的軌跡為H．
（1）求曲線H的方程；
（2）一條直線AB經(jīng)過點(diǎn)F，且交曲線H于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線x=1上的動(dòng)點(diǎn)．
①求證：∠ACB不可能是鈍角；
②是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F′（x，y），則可得M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），圓M的直徑為|FF′|=$\sqrt{（x-{1）}^{2}+{y}^{2}}$，利用動(dòng)圓M與y軸相切，即可求得曲線C的方程；
（2）①設(shè)直線AB：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，n），聯(lián)立直線與拋物線方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，得到$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$≥0恒成立，可得結(jié)論；
②由①知M（2m²+1，2m），根據(jù)CM與AB垂直，斜率積為-1，可得n=2m³+4m，再由|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，求出m值．

解答 解：（1）設(shè)F′（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)F（1，0）在圓M上，且點(diǎn)F關(guān)于圓心M的對(duì)稱點(diǎn)為F，
則M（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），而|FF′|=$\sqrt{（x-{1）}^{2}+{y}^{2}}$，
則$\frac{1}{2}$$\sqrt{（x-{1）}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x+1|，
化簡(jiǎn)得：y²=4x，所以曲線C的方程為y²=4x…（5分）
（2）①設(shè)直線AB：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，n）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2，x₁•x₂=m²y₁•y₂+m（y₁+y₂）+1=1…（7分）
$\overrightarrow{CA}$=（x₁+1，y₁-n），$\overrightarrow{CB}$=（x₂+1，y₂-n），
$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=x₁•x₂+x₁+x₂+1+y₁•y₂-n（y₁+y₂）+n²=（2m-n）²≥0恒成立，
則∠ACB不可能是鈍角；…（10分）
②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，由①知M（2m²+1，2m）
k_CM•k_AB=$\frac{2m-n}{2{m}^{2}+2}•\frac{1}{m}$=-1，則n=2m³+4m，則C（-1，2m³+4m），
則|CM|=$\sqrt{（2{m}^{2}+2）^{2}+（2{m}^{3}+2m）^{2}}$=2（m²+1）$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
而|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$|y₁-y₂|=4（m²+1），由|CM|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|得，m=$±\sqrt{2}$
所以存在點(diǎn)C（-1，$±8\sqrt{2}$）滿足條件…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求解，考查直線的斜率，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．