Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=17，S₁₀=100．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（I）由題意等差數(shù)列{a_n}中a₂=17，S₁₀=100，利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式建立首項(xiàng)與公差的方程求出即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（II）首先利用誘導(dǎo)公式以及（I）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)T_n=b₁+b₂++b_n=(-2)×

n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n=-a1+(a2-a3)+(an-1-an)+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹+n-22，即可求出結(jié)果．

解答：解：（I）設(shè)a_n首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則

a1+d=17 10(2a1+9d) 2 =100

解得

a1=19 d=-2

（5分）∴a_n=19+（n-1）×（-2）=21-2n（7分）
（II）∵b_n=a_ncos（nπ）+2ⁿ=（-1）ⁿa_n+2ⁿ
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（a_n+2ⁿ）
=(-2)×

n

2

+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2（10分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=b₁+b₂++b_n=（-a₁+2）+（a₂+2²）+（-a₃+2³）+…+（-a_n+2ⁿ）
=-a1+(a2-a3)+…+(an-1-an)+

2(1-2n)

1-2

=-19+2×

n-1

2

+2n+1-2=2ⁿ⁺¹+n-22（13分）
∴Tn=

2n+1-n-2(當(dāng)n為偶數(shù)) 2n+1+n-22(當(dāng)n為奇數(shù))

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，（II）問要注意對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論，屬于中檔題．