Question

解關(guān)于x的不等式

ax2-2

ax+1

＞x．

Answer 1

分析：把不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，合并后轉(zhuǎn)化為x+2與ax+1的積小于0，然后分三種情況考慮：a大于0，a=0和a小于0，當(dāng)a大于0時(shí)，又分a大于

1

2

，a大于0小于

1

2

和a等于

1

2

三種情況分別求出相應(yīng)的解集；當(dāng)a=0時(shí)，代入不等式即可解集；當(dāng)a小于0時(shí)，根據(jù)-

1

a

大于0，-2小于0，即可得到不等式的解集，綜上，列舉出各種情況的解集即為原不等式的解集．

解答：解：原不等式可化為

ax2-2-(ax2+x)

ax+1

＞0，即

-x-2

ax+1

＞0，
即（x+2）（ax+1）＜0，
①由a＞0得(x+2)(x+

1

a

)＜0
當(dāng)-

1

a

＞-2，即a＞

1

2

時(shí)，-2＜x＜-

1

a

；
當(dāng)-

1

a

＜-2，即0＜a＜

1

2

時(shí)，-

1

a

＜x＜-2；
當(dāng)-

1

a

=-2，即a=

1

2

時(shí)，x∈∅，
②當(dāng)a=0，則x＜-2；
③當(dāng)a＜0，則-

1

a

＞0，(x+2)(x+

1

a

)＞0，
所以x＞-

1

a

或x＜-2；
綜上所述：原不等式的解集是：
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，{x|-2＜x＜-

1

a

}；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，解集為∅；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，{x|-

1

a

＜x＜-2}；
當(dāng)a=0時(shí)，{x|x＜-2}；
當(dāng)a＜0時(shí)，{x|x＞-

1

a

或x＜-2}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了其他不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．