Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{3}{2}$cos²x+$\frac{3}{2}{sin^2}$x+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期并寫出函數(shù)f（x）圖象的對稱軸；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式以及輔助角公式化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個角的三角函數(shù)的形式，直接求函數(shù)f（x）最小正周期，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）通過區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]，求出單調(diào)性，由此可以得到函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-\frac{3}{2}{cos^2}x+\frac{3}{2}{sin^2}x+1$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}（{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}）+1$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}cos2x+1$
=$\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{3}}）+1$
函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}=π$．
由函數(shù)f（x）圖象可知函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\;k∈Z$．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\;-\frac{π}{12}}]$上是減函數(shù)，
在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\;\frac{π}{3}}]$上是增函數(shù)，
∴$f（{-\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1，\;f（{-\frac{π}{12}}）=-\sqrt{3}+1，\;f（{\frac{π}{3}}）=\frac{5}{2}$
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\;-\frac{π}{12}}]$上的最大值為$\frac{5}{2}$，最小值為$-\sqrt{3}+1$

點評 本題考哈三角函數(shù)的化簡求值，尤其是利用單調(diào)性求最值．