Question

4．在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠B=$\frac{π}{4}$，則AB+2AC的最小值為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由內(nèi)角和定理和條件表示出C，并求出A的范圍，利用正弦定理表示出AB、AC，代入AB+2AC利用兩角差的正弦公式、分離常數(shù)法化簡(jiǎn)，再構(gòu)造函數(shù)：求導(dǎo)、求單調(diào)區(qū)間、最小值，即可求出AB+2AC的最小值．

解答 解：因?yàn)锽=$\frac{π}{4}$，A+B+C=π，所以A+C=$\frac{3π}{4}$，
則C=$\frac{3π}{4}$-A，$A∈（0，\frac{3π}{4}）$，
由正弦定理得，$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，
所以AB=$\frac{BC•sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-A）}{sinA}$，AC=$\frac{BC•sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}}{sinA}$=$\frac{1}{sinA}$，
所以AB+2AC=$\frac{\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-A）}{sinA}$+$\frac{2}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}（sin\frac{3π}{4}cosA-cos\frac{3π}{4}sinA）+2}{sinA}$
=$\frac{cosA+sinA+2}{sinA}$=$\frac{cosA+2}{sinA}$+1，
設(shè)y=$\frac{cosA+2}{sinA}$，$A∈（0，\frac{3π}{4}）$，
則y′=$\frac{（cosA+2）′•sinA-（cosA+2）•（sinA）′}{si{n}^{2}A}$
=$\frac{-si{n}^{2}A-co{s}^{2}A-2cosA}{si{n}^{2}A}$=$\frac{-1-2cosA}{si{n}^{2}A}$，
由y′=0得，-1-2cosA=0，cosA=$-\frac{1}{2}$，則A=$\frac{2π}{3}$，
當(dāng)$A∈（0，\frac{2π}{3}）$時(shí)，y′＜0，函數(shù)y在$（0，\frac{2π}{3}）$上是減函數(shù)，
當(dāng)$A∈（\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}）$時(shí)，y′＞0，函數(shù)y在$（\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}）$上是增函數(shù)，
∴當(dāng)A=$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)y=$\frac{cosA+2}{sinA}$取到最小值是$\frac{-\frac{1}{2}+2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}$，
∴AB+2BC的最大值為$\sqrt{3}+1$．
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、兩角差的正弦公式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)法、分離常數(shù)法，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于難題．