Question

直線y=

1

2

x+4與拋物線x²=8y交于A、B兩點，點M（x₀，y₀）（x₀＞0）是拋物線上到焦點距離為4的點．
（1）求點M的坐標；
（2）求△ABM的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線x²=8y得：其準線為y=-2，焦點為（0，2），根據(jù)點M（x₀，y₀）（x₀＞0）是拋物線上到焦點距離為4的點，可得M到準線距離為4，從而可知M的縱坐標為2，代入拋物線x²=8y方程知橫坐標為4，從而可求點M的坐標；
（2）由直線y=

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2

x+4與拋物線x²=8y得點A、B坐標分別為（-4，2）（8，8）．由于M和A關于y軸對稱，所以可設△ABM的外接圓方程為x²+（y-b）²=r²，代入A、B 兩點坐標得

16+(2-b)2=r2 64+(8-b)2=r2

，從而可求△ABM的外接圓方程．

解答：解：（1）由拋物線x²=8y得：其準線為y=-2，焦點為（0，2）
∵點M（x₀，y₀）（x₀＞0）是拋物線上到焦點距離為4的點
∴M到準線距離為4，
∴M的縱坐標為2，代入拋物線x²=8y方程知橫坐標為4，
故點M的坐標為（4，2）
（2）由直線y=

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2

x+4與拋物線x²=8y得點A、B坐標分別為（-4，2）（8，8）．
由于M和A關于y軸對稱，所以可設△ABM的外接圓方程為x²+（y-b）²=r²，
代入A、B 兩點坐標得

16+(2-b)2=r2 64+(8-b)2=r2

∴b=9，r²=65，
所以△ABM的外接圓方程為x²+（y-9）²=65

點評：本題以拋物線方程為載體，考查拋物線的定義，考查三角形外接圓的求解，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義．