Question

4．已知函數(shù)f（x²-1）=log_m$\frac{x^2}{{2-{x^2}}}$．
（1）求f（x）的解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于 x的不等式 f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）利用換元法以及函數(shù)奇偶性的定義即可求f（x）的解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可解不等式f（x）≤0．

解答 解：（1）設(shè)x²-1=t（t≥-1），則${x^2}=t+1，f（t）={log_m}\frac{1+t}{1-t}，t∈（{-1，1}）$，
∴$f（x）={log_m}\frac{1+x}{1-x}，x∈（{-1，1}）$，
設(shè)x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），
∴$f（{-x}）={log_m}\frac{{1+（{-x}）}}{{1-（{-x}）}}=-{log_m}\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$，
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）由${log_m}\frac{1+x}{1-x}≥0（*）$可知，當(dāng)m＞1時(shí)，$0＜\frac{1+x}{1-x}≤1$，
解得：-1＜x≤0；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，$\frac{1+x}{1-x}≥1$，
解得0≤x＜1；
當(dāng)m＞1時(shí)，不等式組的解集為{x|-1＜x≤0}，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，不等式組的解集為{x|0≤x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．