Question

某地方政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū)，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=6km，AO=3km，曲線段OC是二次函數(shù)y=ax²圖象的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點(diǎn)落在曲線段OC上，問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)BQPN的用地面積最大？并求出最大的用地面積．

Answer 1

依題意點(diǎn)C（3，6）在y=ax²的圖象上，代入得y=

2

3

x2（0≤x≤3）．
設(shè)P(x，

2

3

x2)（0≤x≤3）是曲線段OC上的任意一點(diǎn)，則|PQ|=3+x，|PN|=6-

2

3

x2．
∴工業(yè)園區(qū)面積S_BQPN=|PQ|•|PN|=(3+x)(6-

2

3

x2)=-

2

3

x3-2x2+6x+18（0≤x≤3）．
∴S′=-2x²-4x+6，令S′=0解得x=1或3．
又∵0≤x＜3，∴x=1．
當(dāng)x∈[0，1）時，S′＞0，S是x的增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，3）時，S′＜0，S是x的減函數(shù)．
∴x=1時，S取到極大值，也是最大值，
此時|PQ|=3+x=4，|PN|=6-

2

3

x2=

16

3

，S=4×

16

3

=

64

3

，
所以當(dāng)x=1即|PM|=4，|PN|=

16

3

時，矩形的面積最大為

64

3

（km²）．