Question

已知函數(shù)f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，則有f（x）+f（2a-x）=2b對任意定義域內(nèi)的x均成立．
（1）若函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，求實數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）=-x²+nx+1（x＞0）在（1）的條件下，若對實數(shù)x＞0及t＞0時恒有不等式g（x）＜f（t）成立，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入化簡，可得實數(shù)m的值；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，求出t＞0時f（t）的最小值，利用二次函數(shù)性分類討論可求得g（x）的最大值，根據(jù)對實數(shù)x＞0及t＞0時恒有不等式g（x）＜f（t）成立，得g（x）_max＜f（t）_min，由此可求實數(shù)n的取值范圍．

解答：解：（1）由題設，∵函數(shù)f(x)=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2，
∴m=1；
（2）由（1）得f（t）=t+

1

t

+1（t＞0），
當t＞0時，t+

1

t

+1≥2

t• 1 t

+1=3，所以其最小值為f（1）=3，
g（x）=-x2+nx+1=-（x-

n

2

）2+1+

n2

4

，
①當

n

2

＜0，即n＜0時，g（x）max=1+

n2

4

＜3，∴n∈（-2

2

，0），
②當

n

2

≥0，即n≥0時，g（x）_max＜1＜3，∴n∈[0，+∞），
由①②得n∈（-2

2

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，考查恒成立條件下求參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論思想，恒成立問題基本思路是轉化為求函數(shù)的最值問題解決，本題運用基本不等式及二次函數(shù)性質求得函數(shù)最值．