Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的焦距等于4

6

，它的一條弦所在直線方程是x-y+4=0，若此弦的中點坐標(biāo)為（-3，1），求橢圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)出直線與橢圓的兩個交點的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點差法得到

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，代入中點坐標(biāo)和直線的斜率，得到a，b的關(guān)系，結(jié)合橢圓的焦距及隱含條件求解a²，b²的值，則橢圓方程可求．

解答： 解：由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
再設(shè)直線x-y+4=0與橢圓的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

=-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

，
即

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

，
∵弦的中點坐標(biāo)為（-3，1），∴-

-6b2

2a2

=1，即a²=3b²  ①，
∵2c=4

6

，c=2

6

  ②，
又a²=b²+c²  ③，
聯(lián)立①②③得：a²=36，b²=12．
∴橢圓的方程為

x2

36

+

y2

12

=1．

點評：本題考查了直線與橢圓的關(guān)系，訓(xùn)練了點差法求與中點弦有關(guān)的問題，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．