Question

9．已知f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）令g（x）=x²-f（x），是否存在實數(shù)a，當(dāng)x∈[1，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，函數(shù)g（x）取得最小值為1．若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由題可知，f（x）=x²-3x+lnx，所以$f'（x）=2x-3+\frac{1}{x}$…（2分）
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$或x=1…（3分）
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
所以f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$，（1，+∞）單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{2}，1}）$上單調(diào)遞減      …（5分）
所以f（x）的極小值是f（1）=-2…（6分）
（2）由題知，g（x）=ax-lnx，所以 $g'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$…（7分）
①當(dāng)a≤0時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=1，
解得：$a=\frac{2}{e}$（舍去）             …（8分）
②當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{e}$時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=1，
解得：$a=\frac{2}{e}$（舍去）             …（9分）
③當(dāng)$\frac{1}{e}＜a＜1$時，g（x）在$[{1，\frac{1}{a}}]$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{1}{a}，e}]$上單調(diào)遞增，$g{（x）_{min}}=g（{\frac{1}{a}}）=1+lna=1$，
解得：a=1（舍去）             …（10分）
④當(dāng)a≥1時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=a=1，
解得：a=1…（11分）
綜合所述：當(dāng)a=1時，g（x）在[1，e]上有最小值1．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．