Question

19．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x}$在[2，+∞）上是單調增函數，則實數a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行轉化求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{x}$=ax+$\frac{1}{x}$+1，
函數的導數f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在[2，+∞）上是單調增函數，
∴f′（x）=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{x}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
即實數a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞），
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）

點評 本題主要考查函數單調性的應用，求函數的導數利用函數單調性和導數之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．