Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+3，x∈（0，3]．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若集合A={x|f（x）=0，0＜x≤3}≠∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的對稱軸和圖象的開口方向，運用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）分類討論，利用方程根的討論方法，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵當a=1時，函數(shù)f（x）=x²-2x+3，
∴f（x）=（x-1）²+2，
對稱軸為x=1，圖象是開口向上的拋物線，
∵離對稱軸越近，其對應的函數(shù)值越小，
又∵x∈[0，3]，
∴當x=1時，f（x）取得最小值為2，當x=3時，f（x）取得最大值為6，
∴f（x）的值域為[2，6]；
（2）a＜0，則f（3）≤0，∴9a-6+3≤0，∴a≤$\frac{1}{3}$，∴a＜0；
a=0，-2x+3=0，可得x=1.5，滿足題意；
a＞0，△=4-12a=0，可得a=$\frac{1}{3}$，x=3，滿足題意；
△＞0，可得a＜$\frac{1}{3}$，則f（3）≥0且0＜$\frac{1}{a}$≤3，無解，
∴a≤0或a=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及求函數(shù)的值域問題．求函數(shù)的值域要注意考慮定義域的取值，再根據(jù)函數(shù)的解析式進行判斷該使用何種方法求解值域．