Question

設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）設(shè)向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），當(dāng)

m

•

n

取最小值時(shí)，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理和等比數(shù)列的關(guān)系建立方程關(guān)系即可求角B的大��；
（Ⅱ）根據(jù)向量的數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷三角形的性質(zhì)．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，則b²=ac．由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
又sinAsinC=

3

4

，
所以sin²B=

3

4

．
因?yàn)閟inB＞0，
則sinB=

3

2

．
因?yàn)锽∈（0，π），
所以B=

π

3

或

2π

3

．
又b²=ac，則b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，
故B=

π

3

．
（Ⅱ）因?yàn)橄蛄?span id="umeah1j" class="MathJye">

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），
所以

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A=-

12

5

cosA+2cos²A-1=2（cosA-

3

5

）²-

43

25

，
所以當(dāng)cosA=

3

5

時(shí)，

m

•

n

取的最小值-

43

25

．
因?yàn)?span id="qnatpnz" class="MathJye">

1

2

＜cosA=

3

5

＜

3

2

，
所以

π

6

＜A＜

π

3

．
因?yàn)锽=

π

3

，
所以A+B＞

π

2

．
從而△ABC為銳角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形的形狀的判斷，利用正弦定理和三角函數(shù)的公式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．