Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接

（Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫

出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（解法1）（Ⅰ）因?yàn)?/span>底面，所以，

由底面為長(zhǎng)方形，有，而，

所以．而，所以．

又因?yàn)?/span>，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．

而，所以平面．而，所以．

又，，所以平面．

由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為．

（Ⅱ）如圖1，在面內(nèi)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則是平面與平面

的交線．由（Ⅰ）知，，所以．

又因?yàn)?/span>底面，所以．而，所以．

故是面與面所成二面角的平面角，

設(shè)，，有，

在Rt△PDB中, 由, 得,

則, 解得．

所以

故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，．

（解法2）

（Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以，，

于是，即．

又已知，而，所以．

因,, 則, 所以．

由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為．

（Ⅱ）由，所以是平面的一個(gè)法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個(gè)法向量．

若面與面所成二面角的大小為，

則，

解得．所以

故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，．