【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與.當直線的斜率為0時，.

（1）求橢圓的方程；

（2）試探究是否為定值？若是，證明你的結論；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）是定值；證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)，當直線的斜率為0時，.即求解.

（2）分兩種情況討論，①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，易得.

②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線的方程為，直線的方程為.將直線方程代入橢圓方程中并整理，再利用弦長公式分別求解即可.

（1）由題意知，當直線的斜率為0時，.

.

又，

解得，，

所以橢圓方程為.

（2）①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，

由題意知.

②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線的方程為，，，

則直線的方程為.

將直線方程代入橢圓方程中并整理得，

則，，

所以

.

同理，.

所以，

故是定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（題文）已知函數(shù)，其中為正實數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；

（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設整數(shù)數(shù)列{an}共有2n（）項，滿足，，且（）．

（1）當時，寫出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；

（2）當時，求滿足條件的數(shù)列的個數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了提高利潤，從2012年至2018年每年對生產環(huán)節(jié)的改進進行投資，投資金額與年利潤增長的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

投資金額（萬元）

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

年利潤增長（萬元）

6.0

7.0

7.4

8.1

8.9

9.6

11.1

（1）請用最小二乘法求出關于的回歸直線方程（結果保留兩位小數(shù)）；

（2）現(xiàn)從2012—2018年這7年中抽出三年進行調查，記年利潤增長－投資金額，設這三年中（萬元）的年份數(shù)為，求隨機變量的分布列與期望.

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：，.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若，試判斷的零點個數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，長途車站P與地鐵站O的距離為千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經測量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角滿足tan＝（其中0＜θ＜)，現(xiàn)要經過P修條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點，并在A，B處設立公共自行車停放點．

（1）已知修建道路PA，PB的單位造價分別為2m元/千米和m元/千米，若兩段道路的總造價相等，求此時點A，B之間的距離；

（2）考慮環(huán)境因素，需要對OA，OB段道路進行翻修，OA，OB段的翻修單價分別為n元/千米和n元/千米，要使兩段道路的翻修總價最少，試確定A，B點的位置．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C的方程為：（x－3）2＋（y－2）2＝r2（r>0），若直線3x＋y＝3上存在一點P，在圓C上總存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，則圓C的半徑r的取值范圍是________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，離心率，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若經過點的直線交橢圓于兩點，是否存在直線 ，使得到直線的距離滿足恒成立，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案