Question

（08年銀川一中二模）（12分） 已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖是矩形且AA₁=3，設D為AA₁的中點。

   （1）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；

   （2）求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；

   （3）BC邊上是否存在點P，使AP//平面BDC₁？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論。

Answer 1

解析：（1）解：由題意可知該幾何體為直三棱柱，直觀圖略。

∵幾何體的底面積                …………3分

   （2）證明：連結B₁C交BC₁于E點，則E為BC₁、B₁C的中點，連結DE。

∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°

∴△ABD≌△DA₁C₁，∴BD=DC₁，

∴DE⊥BC₁。                                                                                     …………5分

同理DE⊥B₁C

又∵B₁C∩BC₁=E，∴DE⊥面BB₁C₁C，

又∵DE面BDC₁，∴面BDC₁⊥面BB₁C₁C                                         …………7分

   （3）解：取BC的中點P，連結AP，則AP∥平面BDC₁                      

證明：連結PE，則PE平行且等于AD，

∴四邊形APED為平行四邊形，∴AP∥DE，又DE平面BDC₁，AP平面BDC₁，

∴AP∥平面BDC₁.                                 …………12分