Question

【題目】下列四個(gè)命題：①當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P且焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是；②已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)方程為 ，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是；③拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為；④已知雙曲線(xiàn) ，其離心率，則的取值范圍是.

其中正確命題的序號(hào)是___________．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①先由直線(xiàn)方程求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而可得出所求拋物線(xiàn)方程；即可判斷①的真假；

②根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及漸近線(xiàn)方程得到的值，進(jìn)而可得出所求雙曲線(xiàn)方程；判斷出②的真假；③由拋物線(xiàn)方程直接得到準(zhǔn)線(xiàn)方程，從而可得③的真假；④根據(jù)雙曲線(xiàn)方程與離心率范圍，求出的取值范圍，即可判斷出④的真假.

①因?yàn)橹本�(xiàn)可化為，由得，即，設(shè)焦點(diǎn)在軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可得，所以，故所求拋物線(xiàn)的方程為；故①正確；

②因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)方程為 ，所以，又，所以，故所求雙曲線(xiàn)的方程為；故②正確；

③拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線(xiàn)方程為；故③正確；

④因?yàn)?/span>為雙曲線(xiàn)，所以，又離心率為，

所以，解得，故④正確.

故答案為①②③④