Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-x+b（a，b均為正常數(shù)），設(shè)函數(shù)f（x）在x=

π

3

處有極值．
（1）若對任意的x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）在x=

π

3

時，f′（x）=0，解得a的值，構(gòu)造函數(shù)g（x），b＞g（x），即b大于g（x）的最大值；
（2）f（x）在區(qū)間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調(diào)遞增，所以區(qū)間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)是g（x）單調(diào)遞增區(qū)間的了集，列出不等式，求出m取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=acosx-1，∵函數(shù)f（x）在x=

π

3

處有極值，∴f′(

π

3

)=

a

2

-1=0，得a=2，
由f（x）＞sinx+cosx得：2sinx-x+b＞sinx+cosx，即b＞cosx-sinx+x，令g（x）=cosx-sinx+x，x∈[0，

π

2

]，
g′（x）=-sinx-cosx+1=-

2

sin(x+

π

4

)+1，∵x∈[0，

π

2

]，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，

π

2

]上單調(diào)遞減，∴g（x）的最大值為g（0）=1，∴b＞1；
（2）f′（x）=2cosx-1，令f′（x）≥0得，cosx≥

1

2

，解得2kπ-

π

3

≤x

π

3

+2kπ，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間(

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調(diào)遞增，∴

2kπ- π 3 ≤ m-1 3 π 2kπ+ π 3 ≥ 2m-1 3 π

解得：

m≥6k 2m≤6k+2

，12k≤2m≤6k+2，又

m-1

3

π＜x＜

2m-1

3

π得m＞0，
∴m的取值范圍為（0，2]．

點(diǎn)評：本題考查了極值，單調(diào)性，運(yùn)用了等價轉(zhuǎn)化思想，余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．