Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則下列結(jié)論正確的有

 

．
①

b

a

+

a

b

＞2；
②ab的最大值為

1

4

；
③a²+b²的最小值為

1

2

；
④

1

a

+

4

b

的最大值為9；
⑤a（2b-1）的最大值為

1

8

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用,簡易邏輯

分析：由已知的條件分別利用基本不等式及二次函數(shù)最值的求法分別判斷5個命題得答案．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
對于①，

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2．①錯誤；
對于②，∵1=a+b≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

．即ab的最大值為

1

4

．②正確；
對于③，a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-

1

2

=

1

2

．
∴a²+b²的最小值為

1

2

．命題③正確；
對于④，

1

a

+

4

b

=(

1

a

+

4

b

)(a+b)=1+

b

a

+4+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9．
當且僅當

2a=b a+b=1

，即a=

1

3

，b=

2

3

時上式取等號．命題④正確；
對于⑤，a（2b-1）=（1-b）（2b-1）=-2b²+3b-1，
當b=

3

4

，a=

1

4

時，a（2b-1）的最大值為

5

8

．命題⑤錯誤．
故正確的命題是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了基本不等式的用法，考查了學生的邏輯思維能力，是中檔題．