Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-1．
（Ⅰ）用定義證明f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)；
（Ⅲ）寫出函數(shù)y=f（x）當(dāng)x∈[-1，2]時的最大值與最小值．（不要求步驟）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義證明即可；
（Ⅱ）利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：取值、作差、變形定號、下結(jié)論；
（Ⅲ）確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）當(dāng)x∈[-1，2]時的最大值與最小值．

解答： （Ⅰ）證明：∵f（x）=2x²-1，
∴f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁＜x₂≤0，則f（x₁）-f（x₂）=2（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)；
（Ⅲ）解：f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)
∴x=0時，函數(shù)取得最小值為-1；x=2時，函數(shù)取得最大值為7．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查定義法證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，屬于中檔題．