Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a＜-1，如果對任意x₁，x₂∈（0，+∞），當x₁≥x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥4（x₁-x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

，f（x）在（0，

- a+1 2a

）上單調(diào)遞增，在（

- a+1 2a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）x₁≥x₂，而a＜-1，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ ，由此能示出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）
f′（x）=

a+1

x

+2ax=

2ax2+a+1

x

，
當a≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a≤-1時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當-1＜a＜0時，令f′（x）=0，解得x=

- a+1 2a

，
則當x∈（0，

- a+1 2a

）時，f′（x）＞0，
x∈（

- a+1 2a

，+∞）時，f′（x）＜0
故f（x）在（0，

- a+1 2a

）上單調(diào)遞增，在（

- a+1 2a

，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）∵x₁≥x₂，而a＜-1，
∴由（1）知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
從而?x₁，x₂∈（0，+∞），
|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價于?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ ①
令g（x）=f（x）+4x，則g′（x）=

a+1

x

+2ax+4
①等價于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
即

a+1

x

+2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立
從而a≤

-4x-1

2x2+1

=

(2x-1)2-4x2-2

2x2+1

=

(2x-1)2

2x2+1

-2≥-2．
故a的取值范圍為（-∞，-2]．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．