Question

f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）證明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）
（2）已知f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求a的范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的性質

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由條件f（xy）=f（x）+f（y），即可得證；
（2）由于f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求出f（9）=2，將f（a）＞f（a-1）+2，轉化為f（a）＞f（9a-9），
運用函數的單調性即可求出a的范圍，注意定義域的運用．

解答： （1）證明：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（x）=f（y），即f（y）=f（xy）-f（x）對x，y＞0成立．
將y換成

m

n

，x換為n，則xy換為m，得到f（

m

n

）=f（m）-f（n），
∴f（

x

y

）=f（x）-f（y）成立．
（2）解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=2f（3）=2．
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），即f（a）＞f（9a-9），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

∴1＜a＜

9

8

．
∴a的范圍是（1，

9

8

）．

點評：本題考查抽象函數及應用，考查函數的單調性和運用，及解決抽象函數的方法：賦值法，屬于中檔題．