Question

（2007•廣州一模）不等式組

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

所確定的平面區(qū)域記為D．若點(diǎn)（x，y）是區(qū)域D上的點(diǎn)，則2x+y的最大值是

14

； 若圓O：x²+y²=r²上的所有點(diǎn)都在區(qū)域D上，則圓O的面積的最大值是

4

5

π

．

Answer 1

分析：先依據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，把問題轉(zhuǎn)化為求出可行域內(nèi)的直線在y軸上的截距最大值即可．對(duì)于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，而是求可行域D內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)（0，0）的距離的最大值，保證圓在區(qū)域D內(nèi)，然后求出面積最大值．

解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，
如圖三角形ABC及其內(nèi)部部分

x-y+2=0 2x-y-2=0

⇒

x=4 y=6

當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)A（4，6）時(shí)，
即當(dāng)x=4，y=6時(shí)，（2x+y）_max=14．
陰影部分中離原點(diǎn)最近的距離為：

2 5

5

，
故r的最大值為：

2 5

5

，所以圓O的面積的最大值是：

4

5

π．
故答案為：14，

4

5

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．