Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x²，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又g′（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：g′(

x1+x2

2

)＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）在x=1處取得極值知f′（1）=a-2=0，解方程即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）由題意可得，f（x）-mx=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，化簡可得x₁+x₂+m=

2ln x1 x2

x1-x2

，從而不等式g′(

x1+x2

2

)＜0，可化為

2(x1-x2)

x1+x2

＞ln

x1

x2

，令

x1

x2

=t，則0＜t＜1，令h（t）=2-

4

t+1

-lnt，利用導(dǎo)數(shù)推出在（0，1）上，h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減，h（t）＞h（1）=0，從而不等式可證．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx-x²，
∴f′（x）=

a

x

-2x，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=a-2=0，
∴a=2；
（2）證明：g（x）=f（x）-mx=2lnx-x²-mx，
∴g′（x）=

2

x

-2x-m，
∵函數(shù)g（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴2lnx₁-x₁²-mx₁=0，2lnx₂-x₂²-mx₂=0，
兩式相減可得2ln

x1

x2

-（x₁+x₂）（x₁-x₂）-m（x₁-x₂）=0
∴x₁+x₂+m=

2ln x1 x2

x1-x2

，
g′（

x1+x2

2

）=

4

x1+x2

-（x₁+x₂+m）=

4

x1+x2

-

2ln x1 x2

x1-x2

，
要證g′(

x1+x2

2

)＜0，
即證

4

x1+x2

-

2ln x1 x2

x1-x2

＜0，
即證

2(x1-x2)

x1+x2

＞ln

x1

x2

，
即證

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

=2-

4

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

＞0…①，
令

x1

x2

=t，則0＜t＜1，
令h（t）=2-

4

t+1

-lnt，
則h′（t）=

4

(t+1)2

-

1

t

，
由h′（t）=0得，t=1，
∴當(dāng)0＜t＜1時(shí)h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴①式得證．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．