Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，其對應(yīng)的圖象為曲線C；若曲線C過點P（1，0），且在點P（1，0）處的切線斜率k=2，
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）證明不等式f（x）≤2x-2．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及與切線斜率的關(guān)系，列出不等式解得a、b即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的最大值為0，即得g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

解答： 解：（1）f′（x）=1+2ax+

b

x

由已知條件得

f(1)=0 f′(1)=2

即

1+a=0 1+2a+b=2

解得a=-1，b=3，
∴f（x）=x-x²+3lnx．
（2）f（x）的定義域為（0，+∞）
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx
則g′（x）=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
而g（1）=0，
故當(dāng)x＞0時，g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值；會將解不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決，考查對構(gòu)造函數(shù)及劃歸思想的運用能力，屬難題．