Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè)是定義在 上的函數(shù),滿(mǎn)足條件:

①； ②當(dāng)時(shí),恒成立.

（Ⅰ）判斷在上的單調(diào)性,并加以證明；

（Ⅱ）若,求滿(mǎn)足的x的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）所謂抽象函數(shù)即為解析式不知的函數(shù)，抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，對(duì)抽象函數(shù)的研究常要通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)體現(xiàn)，如函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性．利用賦值法將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的重要策略．（Ⅱ）利用及將轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性即可解決.

試題解析：（Ⅰ） 為定義域上的增函數(shù)； 1分

設(shè)任意且 ，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011306040225019498/SYS201501130604068440969653_DA/SYS201501130604068440969653_DA.002.png">，所以，

取 ，則 ，即 3分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011306040225019498/SYS201501130604068440969653_DA/SYS201501130604068440969653_DA.007.png">且，所以

又當(dāng)時(shí),恒成立，所以

即，所以 是 上的增函數(shù). 6分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015011306040225019498/SYS201501130604068440969653_DA/SYS201501130604068440969653_DA.003.png">，

可轉(zhuǎn)換為 9分

所以，解得，所以x的取值范圍為 12分

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.