Question

17．已知（x+1）n=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x+1）ⁿ（n≥2，n∈N^*）．．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}$的值；
（2）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{{{2^{n-2}}}}，{T_n}={b_2}+{b_3}+…+{b_n}$．
①求b_n的表達(dá)式；
②使用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=$\frac{{n（{n+1}）（{n-1}）}}{6}$．

Answer 1

分析 （1）分別令x=1，x=$\frac{3}{2}$，即可求出答案，
（2）①根據(jù)二項(xiàng)式定理可得b_n的表達(dá)式，
②用數(shù)學(xué)歸納法證明即可

解答 解：（1）記f（x）=（x+1）³，令x=1，得a₀=8，
令$x=\frac{3}{2}得{a_0}+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}=\frac{125}{8}$，
故$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}=\frac{125}{8}-8=\frac{61}{8}$；  
（2）①設(shè)x-1=y，則原展開(kāi)式變?yōu)椋?{（{y+2}）^n}={a_0}+{a_1}y+{a_2}{y^2}+…+{a_n}{y^n}$，
則${a_2}=C_n^2{2^{n-2}}$，
所以${b_n}=\frac{a_2}{{{2^{n-2}}}}={C_n}^2=\frac{n（n-1）}{2}$，
②證明：（i）當(dāng)n=2時(shí)，T₂=1，b₂=1，結(jié)論成立；
（ii）假設(shè)n=k時(shí)成立，即${T_k}=\frac{k（k+1）（k-1）}{6}$，
那么n=k+1時(shí)，${T_{k+1}}={T_k}+{b_{k+1}}=\frac{k（k+1）（k-1）}{6}+\frac{k（k+1）}{2}$=$\frac{k（k+1）（k+2）}{6}=\frac{{（k+1）[{（k+1）+1}][{（k+1）-1}]}}{6}$
所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上（i）（ii）當(dāng)n≥2時(shí)，${T_n}=\frac{n（n+1）（n-1）}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理和數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題