Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O為原點，A為右頂點，P為雙曲線左支上的任意一點，若

|PF2|2

|PF1|-|OA|

存在最小值為12a，則雙曲線離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的定義，結(jié)合基本不等式，

|PF2|2

|PF1|-|OA|

存在最小值為12a，即可求出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答： 解：∵F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
代入

|PF2|2

|PF1|-|OA|

=|PF₁|-a+

9a2

|PF1|-a

+6a≥6a+6a=12a，
當且僅當|PF₁|=4a時取等號．
∵P為雙曲線左支上的任意一點，
∴|PF₁|≥c-a，
∴4a≥c-a，
∴e≤5，
∵P是雙曲線左頂點時，|PF₁|=c-a，同時

|PF2|2

|PF1|-|OA|

存在最小值為12a，
∴|PF₁|-a＞0，
∴c-a＞a，
∴e＞2，
∴2＜e≤5．
故答案為：2＜e≤5．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．