Question

已知函數(shù)y=f（x）定義域為（-π，π），且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，當x∈（0，π）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx，（其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)），若a=f（3^0.3），b=f（log_π3），c=f（log₃

1

9

），則a，b，c的大小關系是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意可知函數(shù)為偶函數(shù)，把給出的函數(shù)解析式求導后求出f（

π

2

）的值，代入導函數(shù)解析式判斷導函數(shù)的符號，得到原函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性得答案．

解答： 解：由x∈（0，π）時，f（x）=-f′（

π

2

）sinx-πl(wèi)nx，
∴f′（x）=-f′（

π

2

）cosx-

π

x

，
∴f′（

π

2

）=-2，
∴f（x）=2sinx-πl(wèi)nx，
∴當x∈（0，π）時，f′（x）＜0．
則f（x）在x∈（0，π）上為減函數(shù)．
又函數(shù)y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，則函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
∵log₃

1

9

=-2＜0，0＜log_π3＜1，3^0.3＞1，
∴f（log_π3）＞f（3^0.3）＞f（log₃

1

9

），
∴b＞a＞c．
故答案為：b＞a＞c．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)之間的關系，考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，解答的關鍵在于判斷函數(shù)在（0，π）上的單調(diào)性，是中檔題