Question

10．已知x＞0，y＞0，a=x+y，$b=\sqrt{{x^2}+xy+{y^2}}$，$c=m\sqrt{xy}$，若存在正數(shù)m使得對(duì)于任意正數(shù)x，y，可使a，b，c為三角形的三邊構(gòu)成三角形，則m的取值范圍是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 首先判斷a＞b，由構(gòu)成三角形的條件可得b+c＞a且a+b＞c，即有$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$+m$\sqrt{xy}$＞x+y且x+y+$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$＞m$\sqrt{xy}$．運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，進(jìn)而得到m的范圍．

解答 解：x＞0，y＞0，a=x+y，$b=\sqrt{{x^2}+xy+{y^2}}$，$c=m\sqrt{xy}$，
由a²-b²=（x+y）²-（x²+xy+y²）=xy＞0，
可得a＞b，
由題意可得要構(gòu)成三角形，必須
b+c＞a且a+b＞c，
即有$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$+m$\sqrt{xy}$＞x+y
且x+y+$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$＞m$\sqrt{xy}$．
由m＜$\frac{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$，
$\frac{x+y+\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$≥$\frac{2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy+xy}}{\sqrt{xy}}$=2+$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y取得等號(hào)．
可得m＜2+$\sqrt{3}$①
由m＞$\frac{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$，
$\frac{x+y-\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}}{\sqrt{xy}}$=$\sqrt{\frac{x}{y}}$+$\sqrt{\frac{y}{x}}$-$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1}$，
令u=$\sqrt{\frac{x}{y}}$，則上式為u+$\frac{1}{u}$-$\sqrt{{u}^{2}+\frac{1}{{u}^{2}}+1}$．
可令t=u+$\frac{1}{u}$（t≥2），可得上式為t-$\sqrt{{t}^{2}-1}$=$\frac{1}{t+\sqrt{{t}^{2}-1}}$，
可得在[2，+∞）遞減，可得t-$\sqrt{{t}^{2}-1}$≤2-$\sqrt{3}$，
即有m＞2-$\sqrt{3}$②
由①②可得m的取值范圍是（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．
故答案為：（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查構(gòu)成三角形的條件，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用基本不等式，同時(shí)考查換元法和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．