Question

已知實(shí)數(shù)列{a_n}是公比小于1的等比數(shù)列，其中a₂=4，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，求

lim

n→∞

S_n．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q∈R），
因?yàn)閍₂=4，所以a₁q=4…①…（2分）
又a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2（a₂+1）=10，
即a₁+a₁q²=10…②…（5分）
由①②以及實(shí)數(shù)列{a_n}是公比小于1的等比數(shù)列，得a₁=8，q=

1

2

．
故an=8•(

1

2

)n-1．…（8分）
（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是公比q=

1

2

．
因?yàn)?span mathtag="math" >q=

1

2

∈(0，1)，
所以

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

=16．…（12分）