Question

如圖1，A（-1，0）、B（1，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸上兩點，C，D分別為橢圓的短軸和長軸的端點，P是CD上的動點，若

AP

•

BP

的最大值與最小值分別為3、

5

7

．

（1）求橢圓的離心率；
（2）如圖2，點F（1，0），動點Q、R分別在拋物線y²=4x及橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的實線部分上運動，且QR∥x軸，求△FQR的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），則

AP

=(x1+1，y1)，

BP

=(x1-1，y1)，故

AP

•

BP

=x12+y12-1，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)R（x₀，y₀），由拋物線的定義知QF等于點Q到拋物線準線x=1的距離，故QF+QR等于點R到拋物線準線x=1的距離為x₀+1．由橢圓的第二定義知QF=

1

2

(4-x0)，由此能求出△FQR的周長l的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），則

AP

=(x1+1，y1)，

BP

=(x1-1，y1)，
∴

AP

•

BP

=x12+y12-1，…（2分）
∵

AP

•

BP

的最大值與最小值分別為3和

5

7

，
∴x₁²+y₁²的最大值與最小值分別為4、

12

7

，…（3分）
而x₁²+y₁²表示線段CD上的點到原點的距離OP的平方，
∴點OP的最大值為OD=2，
即a=2，…（5分）
OP的最小值即為O到線段CD的距離

2 21

7

，
由平面幾何知識得OC=

3

，即b=

3

，…（7分）
得c=

a2-b2

=1，則橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

．…（9分）
（2）設(shè)R（x₀，y₀），
由拋物線的定義知QF等于點Q到拋物線準線x=1的距離，
∴QF+QR等于點R到拋物線準線x=1的距離為x₀+1，…（11分）
由橢圓的第二定義知QF=

1

2

(4-x0)，
∴△NAB的周長l=x₀+1+

1

2

(4-x0)=3+

1

2

x0．…（13分）
由

x2 4 + y2 3 =1 y2=4x

，
得：拋物線與橢圓交點的橫坐標為

2

3

，
即得

2

3

＜x0＜2．
所以△FQR的周長l的取值范圍為(

10

3

，4)．…（16分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．