Question

16．某種產(chǎn)品具有一定時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知：每件產(chǎn)品獲利a元，在不作廣告宣傳的前提下可賣出b件；若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n+1（n∈N）千元時(shí)比廣告費(fèi)為n千元時(shí)多賣出$\frac{{2}^{n+1}}$件，設(shè)作n（n∈N）千元廣告時(shí)銷售量為C_n件．
（1）試寫出銷售量C_n與n（n∈N）的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)a=10，b=4000時(shí)，廠家應(yīng)作幾千元廣告，才能獲取最大利潤(rùn)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)在不作廣告宣傳的前提下可賣出b件；若作廣告宣傳，廣告費(fèi)為n+1（n∈N）千元時(shí)比廣告費(fèi)為n千元時(shí)多賣出$\frac{{2}^{n+1}}$件，直接列式；
（2）b=4000時(shí)，C_n=4000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$），設(shè)獲利為T_n，則有T_n=C_n•10-1000n=40000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-1000n欲使T_n最大，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}≥{T}_{n+1}}\\{{T}_{n}≥{T}_{n-1}}\end{array}\right.$，代入結(jié)合n為正整數(shù)解不等式可求n，進(jìn)而可求最大利潤(rùn)．

解答 解：（1）廣告費(fèi)為1千元時(shí)，C_n=b+$\frac{2}$；2千元時(shí)，C_n=b+$\frac{2}$+$\frac{{2}^{2}}$；
…n千元時(shí)，C_n=b+$\frac{2}$+$\frac{{2}^{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}}$=b（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）；
（2）b=4000時(shí)，C_n=4000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$），設(shè)獲利為T_n，則有T_n=C_n•10-1000n=40000（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-1000n
欲使T_n最大，則$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{n}≥{T}_{n+1}}\\{{T}_{n}≥{T}_{n-1}}\end{array}\right.$，得n=5，此時(shí)T_n=7875．
即該廠家應(yīng)生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，做5千元的廣告，能使獲利最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的疊加求解通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（小）項(xiàng)，解題中要注意函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用．