Question

17．設f（x）=（x²+x-1）⁹（2x+1）⁶，試求f（x）的展開式中：
（1）所有項的系數和；
（2）所有偶次項的系數和及所有奇次項的系數和．

Answer 1

分析 （1）設 f（x）=（x²+x-1）⁹（2x+1）⁶ =a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a₂₄x²⁴，令x=1，可得所有項的系數和．
（2）再令x=-1，可得所有奇次項的系數和減去偶次項的系數和的值，再結合（1）的結果，求得所有偶次項的系數和及所有奇次項的系數和．

解答 解：（1）設 f（x）=（x²+x-1）⁹（2x+1）⁶ =a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a₂₄x²⁴，
令x=1，可得所有項的系數和為 a₀+a₁+a₂ +a₃ +a₄ +…+a₂₄=3⁶=729 ①，即所有項的系數和為729．
（2）再令x=-1，可得 a₀ -a₁+a₂ -a₃ +a₄ +…+a₂₂-a₂₃+a₂₄=-1 ②，
由①②求得偶次項的系數和為 a₀+a₂ +a₄ +…+a₂₄=364，所有奇次項的系數和為 a₁ +a₃ +a₅ +…+a₂₃=365．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式的系數和常用的方法是賦值法，屬于中檔題．