Question

各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤

2n-1

對一切n∈N⁺恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題意知a_n²為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，由此可知an=

2n-1

（Ⅱ）只需證：1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤ 

2n-1

．由數(shù)學歸納法進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴a_n²為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，則an=

2n-1

（Ⅱ）只需證：1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤ 

2n-1

．
1當n=1時，左邊=1，右邊=1，所以命題成立．
當n=2時，左邊＜右邊，所以命題成立
②假設(shè)n=k時命題成立，即1+

1

3

+…+

1

2k -1

≤

2k-1

，
當n=k+1時，左邊=1+

1

3

+…+

1

2K-1

+

1

2K+1

≤

2K-1

+

1

2K+1

．
＜

2K-1

+

2

2K+1 + 2K-1

=

2K-1

+

2( 2K+1 - 2K-1 )

2

=

2(K+1)-1

．命題成立
由①②可知，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤

2n-1

對一切n∈N⁺恒成立．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意數(shù)學歸納法的證明技巧．