Question

（2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AB=2，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PB與AC所成的角的余弦值；
（2）求三棱錐A-EFD的體積．

Answer 1

分析：（1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得到向量

PB

，

AC

的坐標(biāo)，利用空間兩個(gè)向量夾角公式，可計(jì)算出異面直線PB與AC所成的角的余弦值；
（2）由點(diǎn)F是PC中點(diǎn)，得F到平面AED的距離為PA長(zhǎng)度的一半，從而得到三棱錐F-AED的高，算出△AED的面積S結(jié)合錐體的體積公式，可算出三棱錐F-AED的體積，即三棱錐A-EFD的體積．

解答：解：（1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
∴

PB

=(2，0，-2)，

AC

=(2，4，0)…．（4分）
設(shè)

PB

與

AC

所成的角為θ，則cosθ=

4

2 2 •2 5

=

10

10

，…．（6分）
∴異面直線PB與AC所成角的余弦值為

10

10

．…．（8分）
（2）∵F是PC中點(diǎn)，∴F（1，2，1），可得F到平面AED的距離為1
又∴△AED的面積S=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

×2×4=4
∴三棱錐A-EFD的體積V_A-EFD=V_F-AED=

1

3

S_△AED×1=

4

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的四棱錐，求異面直線所成角余弦值并求錐體的體積，著重考查了用空間向量求直線間的夾角、線面垂直的性質(zhì)和錐體的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．