Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

ax+b

（a，b為常數(shù)）且方程f（x）-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=3，x₂=4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)k＞1，解關(guān)于x的不等式；f(x)＜

(k+1)x-k

2-x

．

Answer 1

分析：（1）將x₁=3，x₂=4分別代入方程

x2

ax+b

-x+12=0得出關(guān)于a，b的方程組，解之即得a，b，從而得出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）不等式即為：即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．下面對(duì)k進(jìn)行分類討論：①當(dāng)1＜k＜2，②當(dāng)k=2時(shí)，③當(dāng)k＞2時(shí)，分別求出此不等式的解集即可．

解答：解：（1）將x₁=3，x₂=4分別代入方程

x2

ax+b

-x+12=0，得

9 3a+b =-9 16 4a+b =-8

，解得

a=-1 b=2

，所以f（x）=

x2

2-x

(x≠2)．
（2）不等式即為

x2

2-x

＜

(k+1)x-k

2-x

，可化為

x2-(k+1)x+k

2-x

＜0
即（x-2）（x-1）（x-k）＞0．
①當(dāng)1＜k＜2，解集為x∈（1，k）∪（2，+∞）．
②當(dāng)k=2時(shí)，不等式為（x-2）²（x-1）＞0解集為x∈（1，2）∪（2，+∞）；
③當(dāng)k＞2時(shí)，解集為x∈（1，2）∪（k，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是應(yīng)用分類討論思想解決不等式問題，關(guān)鍵是正確地進(jìn)行分類，而分類一般有以下幾個(gè)原則：
1．要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；
2．對(duì)討論對(duì)象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏，即分成若干類，其并集為全集，兩兩的交集為空集；
3．當(dāng)討論的對(duì)象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行，以避免混亂．根據(jù)絕對(duì)值的意義判斷出f（x）的奇偶性，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求出函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并且只要求出當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）最小值進(jìn)而利用f（x）_min≤-1解答此題．