已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*.
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
分析:(1)將點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)代入函數(shù)解析式,得到關(guān)于m,t的方程解出參數(shù)的值,求得函數(shù)的解析式,再將點(diǎn)C(n,Sn),得到Sn=2n-1(n∈N*).再有n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1求an;
(2)由題意cn=6nan-n,求得數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,由其形式得到,需要先分組,再對(duì)其中的一組用錯(cuò)位相減法求和.另一組用公式求和.兩者相加求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解答:解:(1)由
,得
,
∴f(x)=2
x-1,∴S
n=2
n-1(n∈N
*).
∴當(dāng)n≥2時(shí),a
n=S
n-S
n-1=2
n-2
n-1=2
n-1.
當(dāng)n=1時(shí),S
1=a
1=1符合上式.
∴a
n=2
n-1(n∈N
*).
(2)由(1)知c
n=6na
n-n=3n×2
n-n.
從而T
n=3(1×2+2×2
2+…+n×2
n)-(1+2+…+n)
令M=1×2+2×2
2+…+n×2
n,
則2M=1×2
2+2×2
3+…+(n-1)×2
n+n×2
n+1作差整理得M=(n-1)•2
n+1所以T
n=3(n-1)•2
n+1-
+6.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,正確解答本題,關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的由題意求出函數(shù)的解析式,以及觀察數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式的形式,用分組技巧與錯(cuò)位相減法的技巧求和,本題綜合性強(qiáng),對(duì)觀察能力,轉(zhuǎn)化能力要求較高,是一個(gè)能力型題.