已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積.
分析:(I)利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式對(duì)函數(shù)整理可得,f(x)=2sin(2ωx+
π
6
)
,根據(jù)周期公式可得T=
=
π
ω
,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離即為
1
2
T
,從而有
T
2
π
2
代入可求ω的取值范圍.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知ω的最大值為1,f(x)=2sin(2x+
π
6
)
由f(A)=1可得,sin(2A+
π
6
)=
1
2
結(jié)合已知可得2A+
π
6
=
5
6
π
,A=
π
3
由余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc
可得b2+c2-bc=3,又b+c=3聯(lián)立方程可求b,c,代入面積公式可求
也可用配方法
(b+c)2-3bc=3
b+c=3
求得bc=2,直接代入面積公式可求
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
m
n
=cos2ωx-sin2ωx+2
3

cosωx•sinωx=cos2ωx+
3
sin2ωx=2sin(2ωx+
π
6
)

∵ω>0
∴函數(shù)f(x)的周期T=
=
π
ω
,由題意可知
T
2
π
2
,即
π
π
2
,
解得0<ω≤1,即ω的取值范圍是{ω|0<ω≤1}
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知ω的最大值為1,
f(x)=2sin(2x+
π
6
)

∵f(A)=1
sin(2A+
π
6
)=
1
2

π
6
<2A+
π
6
13π
6
π
∴2A+
π
6
=
5
6
π
∴A=
π
3

由余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc

∴b2+c2-bc=3,又b+c=3
聯(lián)立解得
b=2
c=1
b=1
c=2

∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
2

(或用配方法∵
(b+c)2-3bc=3
b+c=3

∴bc=2
S
 
△ABC
=
1
2
bcsinA=
3
2
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,由函數(shù)的部分圖象的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式,正弦函數(shù)的周期公式,由三角函數(shù)值求解角,余弦定理及三角形的面積公式等知識(shí)的綜合,綜合的知識(shí)比較多,解法靈活,要求考生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)并能靈活運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿(mǎn)足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱(chēng).
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評(píng)分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線(xiàn)θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時(shí),實(shí)數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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