Question

17．已知命題p：曲線$\frac{{x}^{2}}{a-3}$-$\frac{{y}^{2}}{6-a}$=1為雙曲線，命題q：函數f（x）=x²-alnx在（2，3）上是增函數，若p∨（￢q）為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據雙曲線的標準方程，函數導數符號和函數單調性的關系即可分別求出命題p，q為真時的a的取值范圍，而由p∨（￢q）為假命題能得到p假q真，從而求p假時a的范圍和q真時a的范圍的交集即可．

解答 解：由命題p知，（a-3）（6-a）＞0，∴3＜a＜6；
對于命題q，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$≥0在（2，3）上恒成立；
而y=2x²-a在（2，3）上是增函數；
∴只需2•2²-a≥0，a≤8；
若p∨（￢q）為假命題，則p假q真；
∴3＜a＜6且a≤8；
∴實數a的取值范圍為（3，6）．

點評 考查雙曲線的標準方程，函數導數符號和函數單調性的關系，二次函數的單調性，以及p∨q，￢q的真假和p，q真假的關系．