Question

17．已知命題p：曲線$\frac{{x}^{2}}{a-3}$-$\frac{{y}^{2}}{6-a}$=1為雙曲線，命題q：函數(shù)f（x）=x²-alnx在（2，3）上是增函數(shù)，若p∨（￢q）為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可分別求出命題p，q為真時(shí)的a的取值范圍，而由p∨（￢q）為假命題能得到p假q真，從而求p假時(shí)a的范圍和q真時(shí)a的范圍的交集即可．

解答 解：由命題p知，（a-3）（6-a）＞0，∴3＜a＜6；
對于命題q，f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$≥0在（2，3）上恒成立；
而y=2x²-a在（2，3）上是增函數(shù)；
∴只需2•2²-a≥0，a≤8；
若p∨（￢q）為假命題，則p假q真；
∴3＜a＜6且a≤8；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，6）．

點(diǎn)評 考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及p∨q，￢q的真假和p，q真假的關(guān)系．