Question

已知正四面體ABCD的棱長為4，設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，MN是內(nèi)切球的一條直徑，P在正四面體表面上運(yùn)動(dòng)．下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①AB⊥CD
②從正四面體的六條棱中任選兩條，則它們互相垂直的概率為

4

15

③R=3r
④r=

6

3

   
⑤

PM

•

PN

的最大值為

16

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì),簡易邏輯

分析：①利用正四面體的性質(zhì)判斷正誤即可；
②利用古典概型求出結(jié)果判斷正誤即可；
③設(shè)所求正四面體為S-ABCD，可得它的內(nèi)切球的球心0在高線SH上，延長AH交BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)SD則內(nèi)切球切SD于點(diǎn)E，連結(jié)AO．利用正三角形的性質(zhì)及三角形相似，算出內(nèi)切球的半徑OH=

1

4

SH．判斷正誤即可；
④利用③的方法求出內(nèi)切球的半徑，判斷正誤即可；
⑤利用“當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值”，可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)上式取得最大值，求出即可．

解答： 解：對(duì)于①，正四面體的對(duì)角線互相垂直，所以①正確；
對(duì)于②，從正四面體的六條棱中任選兩條，則它們互相垂直的概率為：

3

C 2 6

=

1

5

，所以②不正確；
對(duì)于③，設(shè)正四面體S-ABCD如圖所示
可得它的內(nèi)切球的球心0必定在高線SH上
延長AH交BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)SD則內(nèi)切球切SD于點(diǎn)E，連結(jié)AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH：HD=2：1
∵Rt△0AH∽R(shí)t△DSH
∴

OA

OH

=

DS

DH

=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得內(nèi)切球的半徑OH=

1

4

SH，
③正確；
對(duì)于④，由③，可得內(nèi)切球的半徑OH=

1

4

SH
∵正四面體棱長為4，
∴Rt△SHD中，SD=2

3

，HD=

1

3

SD=

2 3

3

可得SH=

SD2-HD2

=

4 6

3

，得內(nèi)切球的半徑r=OH=

1

4

×

4 6

3

=

6

3

．④正確．
對(duì)于⑤，解：設(shè)點(diǎn)O是此正方體的內(nèi)切球的球心，半徑R=1．
∵

PM

•

PN

≤|

PM

||

PN

|，
∴當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，

PM

•

PN

取得最大值．
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)上式取得最大值，
∴（

PM

•

PN

）_max=

4 6

3

×

2 6

3

=

16

3

．⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的知識(shí)的應(yīng)用，考查直線與直線的位置關(guān)系，古典概型以及內(nèi)切球與外接球的半徑的求法，以及充分理解數(shù)量積得性質(zhì)“當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，

PM

•

PN

取得最大值”是解題的關(guān)鍵．