Question

已知雙曲線焦距為4，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（2，3）．
（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若直線m經(jīng)過該雙曲線的右焦點(diǎn)且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件列出方程求出a，利用雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系，求出b，據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線方程為y=2x-4代入雙曲線方程，整理，利用弦長(zhǎng)公式，可求直線l被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)．

解答： 解：∵雙曲線焦距為4，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（2，3 ）．
∴2c=4，c=2，2a=

(2+2)2+32

-

(2-2)2+32

=2，∴a=1，
∵c²=a²+b²
∴b²=3
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-

y2

3

=1；
（2）直線方程為y=x-2代入x2-

y2

3

=1，整理可得2x²+4x-7=0，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-

7

2

．
∴直線l被雙曲線C截得的弦長(zhǎng)為

1+k2

|x2-x1|=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

2

•

4+4× 7 2

=6．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程關(guān)鍵先判斷出焦點(diǎn)的位置、考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系為c²=a²+b²，注意與橢圓中三個(gè)參數(shù)關(guān)系的區(qū)別，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．考查分析問題解決問題的能力．