已知函數(shù)f（x）定義在R上，對任意實數(shù)x有f（x+4）=-f（x）+2
2
，若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，f（-1）=2，則f（2013）=（　　）
A、-2+2
2
B、2+2
2
C、2-2
2
D、2
分析：依題意，可求得f（-x）=f（x），且f（x+4）+f（x）=2
2
，又f（-1）=2，經(jīng)計算得到規(guī)律：f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2
2
-2，從而可求f（2013）的值．
解答：解：∵y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，向左平移1個單位，得y=f（x）圖象關于y軸對稱，
即f（-x）=f（x），
又f（x+4）=-f（x）+2
2
，
∴f（x+4）+f（x）=2
2
，
∵f（-1）=2，f（-x）=f（x），
∴f（1）=2，
∴f（3）=2
2
-f（-1）=2
2
-2，
同理可得：f（5）=2
2
-2，f（7）=2，
f（9）=2，f（11）=2
2
-2，
f（13）=2
2
-2，
…
即f（1）=f（9）=f（17）=…=f（1+8n）=2，
f（3）=f（11）=f（19）=…=f（3+8n）=2
2
-2，
f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2
2
-2，
f（7）=f（15）=f（23）=…=f（7+8n）=2；
又2013=5+251×8，
∴f（2013）=f（5）=2
2
-2，
故選：A．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其性質，著重考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應用，求得f（5）=f（13）=f（21）=…=f（5+8n）=2
2
-2是關鍵，也是難點，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調性，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，并且對于任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時，f（x）≠f（y），x＞0時，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又數(shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（an）關于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，則f（2013）=
 
．

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