Question

6．關(guān)于x的方程$\sqrt{3}$cosx+sinx-a=0在區(qū)間[0，π]上恰有兩個(gè)不等實(shí)根α，β，則α+β的值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得，在區(qū)間[0，π]上，函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象和直線(xiàn)y=$\frac{a}{2}$有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜1．求得兩個(gè)實(shí)根的和．

解答 解：方程$\sqrt{3}$cosx+sinx-a=0，即sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{a}{2}$，
再根據(jù)方程在區(qū)間[0，π]上有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，
可得在區(qū)間[0，π]上，函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象和直線(xiàn)y=$\frac{a}{2}$有2個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜1．
所以α+β=2×$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$．
故答案是：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．