Question

1．設函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f'（x），且3f（x）+xf'（x）＜0，則不等式（x+2016）³f（x+2016）+8f（-2）＜0的解集是（-2018，-2016）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，構造函數(shù)g（x）=x³f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可判斷出該函數(shù)在（-∞，0）上為增函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)值的關系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關系從而解出不等式即可．

解答 解：構造函數(shù)g（x）=x³f（x），g′（x）=x²（3f（x）+xf′（x））；
當x＜0時，
∵3f（x）+xf′（x）＜0，x²＞0；
∴g′（x）＜0；
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
g（x+2016）=（x+2016）³f（x+20165），g（-2）=-8f（-2）；
∴由不等式（x+2016）³f（x+2016）+8f（-2）＜0得：
（x+2016）³f（x+2016）＜-8f（-2）
∴g（x+2016）＜g（-2）；
∴x+2016＞-2，且x+2016＜0；
∴-2018＜x＜-2016；
∴原不等式的解集為（-2018，-2016）．
故答案為：（-2018，-2016）

點評 本題主要考查不等式的解法：利用條件構造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性定義將原不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式即可．