Question

已知拋物線和橢圓都經(jīng)過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．
（Ⅰ）求這兩條曲線的方程；
（Ⅱ）已知動直線l過點P（3，0），交拋物線于A，B兩點，是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程解得p即可．由題意知橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可得c．
對于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|可得a．再利用b²=a²-c²即可得出．
（II）設AP的中點為C，l′的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l′于D，E兩點，DE的中點為H．令A（x₁，y₁），C(

x1+3

2

，

y1

2

)，可得|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+ y 2 1

，|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|，利用垂經(jīng)定理及其推論、勾股定理可得|DH|²=|DC|²-|CH|²=(a-2)x1-a2+3a．當a=2時，|DH|²為定值，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入方程得p=2．
∴拋物線的方程為y²=4x．
由題意知橢圓的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
∴c=1．
對于橢圓，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+22

=2+2

2

．
∴a=1+

2

，
∴b²=a²-c²=2+2

2

．
∴橢圓的方程為：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1．
（Ⅱ）設AP的中點為C，l′的方程為：x=a，以AP為直徑的圓交l′于D，E兩點，DE的中點為H．
令A（x₁，y₁），C(

x1+3

2

，

y1

2

)，
|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+ y 2 1

，|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|，
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

1

4

[(x1-3)2+

y

2 1

]-

1

4

[(x1-2a)+3]2
=(a-2)x1-a2+3a．
∴當a=2時，|DH|²=2為定值．
∴|DE|=2|DH|=2

2

為定值．
此時l′的方程為：x=2．

點評：本題考查了拋物線及橢圓的標準方程及其性質、圓的性質、直線與拋物線相交問題轉、垂經(jīng)定理及其推論、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．