Question

2．已知關(guān)于x的方程ax²+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}}$]
• B． [-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}}$]
• C． [-3，-2]
• D． （-3，-2]

Answer 1

分析 討論方程類型和方程在（0，3]上的根的個數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式解出．

解答 解：當(dāng)a=0時，方程x+1=0的零點為-1，不符合題意，∴a≠0．
（1）若方程在（0，3]有一個根，
①若3為方程的根，則12a+4=0，解得a=-$\frac{1}{3}$，
②若3不是方程的根，則$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4a（3a+1）=0}\\{0＜-\frac{1}{2a}＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4a（3a+1）＞0}\\{（3a+1）（12a+4）＜0}\end{array}\right.$．
解得a=-$\frac{1}{2}$或無解．
（2）若方程在（0，3]上有兩個根，則$\left\{\begin{array}{l}{△-1-4a（3a+1）＞0}\\{0＜-\frac{1}{2a}＜3}\\{3a+1＜0}\\{12a+4≤0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{2}$＜x≤-$\frac{1}{3}$，
綜上，a的范圍是[-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．
故選B．

點評 本題考查了方程根的個數(shù)判斷，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，不等式的解法，屬于中檔題．